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中国第一部测算专著
发布时间:2020-06-28     来源:     作者:寓公剑      浏览:470


北京国子监牌楼

中国第一部测算专著

——测绘之最

唐朝长安城的国子监里,书声朗朗。作为中央高等学府的国子监,在开元年间,就学的中国学生和留学生竟然多达8000人,盛极一时。

国子监算学馆里,太史令、算学博士李淳风(602—670,唐代岐州---今陕西岐县人,天文学家、数学家)正在上课:“大海上有座海岛,我们在岸上如何测量海岛的高度呢?哪位监生知道?”。监生们面面相觑。

“这个问题,我们的前辈在500多年前就解决了。巧妙的是他只用了两根测量木杆。”监生们一个个睁大了眼睛望着学识渊博的老师。

“请打开《海岛算经》。”李淳风大声讲。

《海岛算经》是《算经十书》之一。唐代掌管天文测算的太史令李淳风、国子监算学馆算学博士梁述以及助教王真儒,注释并汇编唐代之前算学经典《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张邱建算经》《五经算术》《五曹算经》《缉古算经》《缀术》等10本书,称为《算经十书》。《算经十书》作为唐代国子监的算学教材,纳入科举考试的内容。唐以后历代,都推崇《算经十书》,作为国学的教科书。

《海岛算经》一页

监生们打开书本,李淳风继续讲:“《海岛算经》是三国时期的数学家刘徽所著,实际上是刘徽对《九章算术•勾股章》的注释,原名《重差》,现在我们把它单列,取名《海岛算经》。因为《海岛算经》第一个算例是望测海岛。请翻看第一个算例!”

刘徽及李淳风注释《九章算术》一页

博学多能的李淳风侃侃而谈,从刘徽注释《九章算术》谈起。

魏元帝景元四年(263),魏国灭亡了蜀国。这一年,魏国的学者刘徽(生平不详)完成了对数学名著《九章算术》的注释。注释中不但有他对原著的理解,还有他的许多创见。《九章算术》大约成书于东汉初期,内容分为九章:方田、商功、少广、粟米、衰分、均输、盈不足、方程和勾股。勾股章讲述勾股定理与相似直角三角形解法与应用。《九章算术》为中国古代数学经典之首。

刘徽画像

但是,《九章算术》同我国古代数学经典一样,有一个突出的特点,即以问题集的形式编写,寓一般数学原理于具体算例之中,行文简括,缺乏必要的说明与解释,缺乏系统的理论探讨。《九章算术》所列出的246个算例,因阐述过于简略,造成了在学习与应用中许多误解与困惑。在研读《九章算术》的过程中,刘徽发现了这个问题,立志注释这部数学经典。

魏元帝时期,虽然军阀混战,但是中原地区相对安定,刘徽便躲进书斋,按照“析理以辞,解体用图”的原则对《九章算术》进行研究。他在自序中所说:“事类相推,各有攸归。故枝条虽分,而同本干者,知发其一端而已。”就是说,刘徽试图探求的是具体算例包含的内在逻辑和共同的道理。特别需要指出,刘徽在对勾股章注释过程中,系统地研究了勾股测量理论与方法(中国古代概称勾股术),另著《重差》一卷,附于《九章算术》之后。重差测量理论与方法,为实现直接测量向间接测量的转变提供了依据。

刘徽创造重差测量体系,源于数学家赵爽的日高图的启发。赵爽是三国时期的吴国人,以注释《周髀算经》而闻名。据考证,《周髀算经》记述了西汉及其以前的数学成果,其中以西周数学家商高关于勾股定理的论述以及“用矩之道”最为著名。说明先秦时期,直接测量的勾股术已经广泛应用了。赵爽对勾股定理注释:“勾股各自乘,并之为弦实(面积),开方除之即弦。”并根据勾股术演绎出著名的《日高图》。《日高图》实际上是测量太阳高度的图解,即使用两根表杆(AC、EG)前后观测,目的是构建两个相似直角三角形,并根据直角相似三角形是边角关系和测量数据推算太阳的高度。这种方法被称为重差法。重差是两次立杆测量所构建的两个相似直角三角的比例项。


日高图示意

刘徽反复端详着数学家赵爽的《日高图》,心里琢磨着《日高图》隐含着的道理。“用两根表杆就能测量推算出太阳的高度,这太神奇了!赵君真是巧思绝世的才子!”刘徽佩服赵爽使用如此简单的工具和如此简便的测算方法就解决了可望而不可及的物体的测算问题。《日高图》使刘徽豁然开朗,他欣然命笔:“凡望极高,测绝深,而兼知其远者,必用重差。勾股必以重差为率,故曰重差也。”重差法是中国古代勾股术的主要内容。而勾股术本质上是中国古代基于直角三角形的三角测量。

刘徽按照赵爽的思路探索下去,发明了重表法、累矩法和连索法,逐步建立起重差测算体系,使得中国古代的勾股术臻于完善。重表法类同日高图揭示的方法。刘徽《重差》的第一个 算例“望海岛”采用的就是重表法。

“望海岛”算例图解

“望谷”算例采用了累矩法。累矩法是利用两个上下叠累的偃矩(在矩ABC上叠加和B′A′C′)测量推算出物体的深度(AE),如水井、山谷的深度。“望邑”算例采用了连索法,即在观测中不但使用重表(E、F与人眼同高),而且用测绳将两根表杆连起来,借助绳索进行测量与推算。对这些方法,刘徽详细绘制了图解,称为《重差图》(已佚)。他说:“度高者重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望,触类而长之,则幽遐诡伏靡所不入。”意思是说,测量高低用重表法,测量深浅用累矩法,测量孤立的目标用多次望测的方法,测量复杂的目标需要联合使用这些方法。总之,要根据实际情况,活用原则。


累矩法示意图


连锁法示意图

《算经十书》中,有的讲日常生活的计算问题,属于初等数学知识;有的讲复杂的天文计算问题,属于高等数学知识;《海岛算经》讲复杂的间接测量与计算问题,属于中等或高等测算教材。李淳风亲自授课,分多次教授《海岛算经》,最后李淳风强调:“监生们,请你们记住,《海岛算经》是专门讲述测量与计算的著作,可以说是中国的第一部测算专著。”

有监生问:“《周髀算经》《九章算术》也有测量与计算的内容,能算测算专著吗。”

李淳风回答:“《周髀算经》有测量与计算知识,还有丰富的天文学知识,有人认为它是天文学著作;《九章算术》为古代算经的代表,除了测算知识外,更多章节是现实的算术问题;《海岛算经》9个算例都是测量与计算问题,而且归纳与揭示了3类测量方法。”李淳风总结道:“从《周髀算经》勾股定理到《九章算术》勾股章,再到《海岛算经》的重差术,勾股测算体系逐步发展,臻于完善,为我们测量困难问题提供了方法。应该记住,在构建勾股测量体系上,三国时期的数学家刘徽居功至伟!”

根据作者著《中国测绘教育史》《中国古代测量数学的发展》编写,版权归作者寓公剑所有。


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